ENSAYO DE UNA PROPUESTA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA DE LÍMITE

Silvia Aquere, Adriana Engler, Silvia Vrancken, Daniela Müller, Marcela Hecklein, María Inés

Gregorini y Natalia Henzenn

Facultad de Ciencias Agrarias. Universidad Nacional del Litoral

Prov. de Santa Fe (Argentina)

Este trabajo de investigación fue realizado para ver como comprender y apropiarse del concepto de límite a alumnos de carreras universitarias no matemáticas, en su   caso, Ingeniería Agronómica. El concepto de límite  de una función por su naturaleza  ha dado trabajo para que los alumnos se apropien de dicho concepto. En este trabajo lo que intenta es investigar como el concepto de límite de una función ha presentado  dificultades para que los alumnos se apropien del concepto para ello primero es clasificar las dificultades que ha presentado en la enseñanza del concepto límite de una función. El objetivo de la investigación es abordar el tema límite no desde una óptica convencional sino tratando de construir su concepto desde la intuición para luego llegar a una formalización del mismo, a través de actividades constructivistas y participativas.  La enseñanza implica que el estudiante aprenda  para   Duval (1998) la formación de conceptos implica una coordinación de sistemas de representaciones, esta se logra articulando entre diferentes registros. Entendiéndose las  representaciones, diferentes notaciones, ya sean gráficas, simbólicas, así como expresiones verbales. En el concepto de límite, el registro numérico se ve mediante tablas de valores, la posibilidad de acercarse a un determinado valor utilizando aproximaciones mayores por un lado y menores por el otro. El registro simbólico cuando es posible definir el límite de una función utilizando la simbología adecuada. Y el registro verbal cuando es posible definir el concepto utilizando palabras de nuestro vocabulario. Dentro de la formación de conceptos se presentan errores o malas respuestas por eso  Godino, Batanero y Font (2003)  expresan “hablamos de error cuando el alumno realiza una práctica (acción, argumentación, etc.) que no es válida desde el punto de vista de la institución matemática escolar”. Para Rico (1995) el error se produce cuando un alumno proporciona una respuesta incorrecta a una cuestión matemática, esta respuesta es errónea, la solución proporcionada es un error en relación a la cuestión planteada. La causa y orígenes de los errores son diversos, decidimos analizar aquellos basados en dificultades de tipo: epistemológicas, didácticas, cognitivas y actitudinales. Las dificultades epistemológicas son las relacionadas esencialmente con el propio concepto. Las dificultades didácticas, es decir las originadas por el sistema de enseñanza, podemos destacar dos aspectos de los que nos ocupamos en nuestra propuesta de trabajo. Las dificultades cognitivas, muchas veces asociamos el error a falta de conocimiento, pero como expresa Brousseau (1983, c.p. Batanero et al., 1994, p.2), el mismo manifiesta que “es un conocimiento, no una falta de conocimiento”.

La propuesta consta de dos partes  los alumnos las resolvieron en forma grupal sin la

Intervención del docente. Se corrigieron, marcando donde había error. Los alumnos eran cursantes de Matemática II de la carrera durante en el año 2006. Los trabajos fueron en total, ciento sesenta, los cuales se dividieron en setenta y seis grupos. En la  Primera Guía se incluyeron siete ejercicios que, en forma gradual en ellos se trabajan distintas representaciones (tabla, gráfica, fórmula) aquí se introduce la idea intuitiva de aproximación del límite por derecha y por izquierda.

La segunda guía consta de tres actividades, subdivididas en ítems donde debían interpretar, que a medida que la variable independiente crece, la función crece indefinidamente. La tercera actividad es una aplicación. El Trabajo Final de  Límite de Funciones constó de nueve actividades, cuya resolución exigía el uso de las diferentes representaciones (gráficas, simbólicas, analíticas, coloquial) y realizar procesos de conversión entre ellas. En las primeras tres actividades, se trató de propiciar el análisis de gráficos y simbología en forma conjunta, ya que a través de ellos, debían completar los límites que se les pedían, los mismos eran finitos en algunos casos, infinitos y en el infinito, en otros. Se pretendía con esto analizar si los alumnos comprenden el concepto de límite a partir de una función definida gráficamente. A partir de la cuarta hasta la séptima actividad, debían graficar una función a partir de una serie de condiciones, a cumplirse en forma simultánea. Se pretendía evaluar la capacidad de ilustrar su idea de límite. En la actividad 8 la resolución consta de la evaluación de unos límites establecidos y apartir de ellos calcular los propuestos. En estos ejercicios las mayores dificultades se presentan en la factorización de las expresiones, o para salvar las indeterminaciones, cometiendo muchos errores algebraicos y de cálculos. En la última actividad, muchos realizan solamente las sustituciones, y no intentan otra cosa.

En el desarrollo de su propuesta encontramos por un lado alumnos que tenían buen desempeño en los prácticos y que supieron confrontar y defender sus posturas. Por otro, los que lograron resolver las actividades pero en las que contenían errores se presentaban contradicciones con las que habían resuelto bien. Se observaron grupos que ante la inseguridad y el miedo a equivocarse no resolvían las situaciones y los que no han querido trabajar, que fueron muy pocos. En las entrevistas, un alto porcentaje manifestó que antes de resolver las actividades conjugaban sentimientos de ansiedad por lo desconocido del tema, por las actitudes que esperan de los profesores, por el estilo de enseñanza, y miedo a no saber cómo resolverlos, al fracaso, a los errores, pero que al final del tema la estrategia de trabajo había sido positiva.