Ana
Cecilia medina M.
Estudiante
del programa de maestría en docencia de la matemáticas.
Universidad
pedagógica nacional.
Es este artículo se
presenta una síntesis de un estudio aproximativo de las concepciones históricas
relativas al concepto de limite, identificadas en su génesis y evolución y el
papel que desempeña este estudio epistemológico en un trabajo de investigación
desarrollado en el marco de la comprensión de los conceptos matemáticos.
El concepto de límite
ocupa una posición central en el campo conceptual del cálculo y su complejidad
resulta ser fuente de dificultades tanto en la enseñanza como en el
aprendizaje. Primero por su carácter estructural que lo constituye el eje
central y concepto básico sobre el cual se construye la estructura del
cálculo diferencial e integral y otras
ramas de las matemáticas: también por su carácter instrumental como herramienta
para la solución de problemas tanto al interior de las matemáticas como de las
ciencias aplicadas como la física, la ingeniería y finalmente, como objeto
matemático que se gesta en diferentes con-textos : geométrico, aritmético,
topológico y asociado a otros objetos matemáticos.
Una de las
intencionalidades del educador matemático es la búsqueda de la comprensión como
construcción y apropiación de significados relativos a elementos constitutivos,
de los conceptos matemáticos por parte de los estudiantes, los cuales genera
interrogantes acerca de sus actividades matemáticas.
Como el objetivo principal de este trabajo de investigación es
estudiarlas concepciones que manifiestan los estudiantes acerca de la noción de
limite, se debe tener como punto de partida los significados atribuidos al
concepto, los cuales no se construyen consultando los libros de texto de
cálculo más elevados, porque allí por una parte se encuentran el conocimiento
matemático terminado y pulido con su apariencia perfecta inequívoca y rigurosa,
ocultando las dificultades y obstáculos que hicieron evolucionar la noción
hasta llegar a institucionalizarse Como concepto matemático. Este estudio aproximativo
de la evolución de la noción de limite se ha apoyado en las teorías sobre
concepciones de Vergnaud (1982, citado por Ruiz, 1993), problemas conceptuales
de Toulmin (1977. Citado por delgado, 1998), dificultades y obstáculos
epistemológicos de Brousseau (citado por Ruiz, 1993), y el Brousseau (1988) y
el estatus de un concepto matemático de Chevallard (1991) y Sfard (19991).
Para el estudio de
las concepciones históricas de la noción de límite se adoptó La definición de
concepción de Vergnaud, quien parte de la definición de un concepto matemático.
“un concepto
matemático está determinado por una terna(S, I, S) en donde S: ES el conjunto
de situaciones Que dan sentido al concepto, I: el conjunto de invariantes que
constituyen el concepto y S: el conjunto de representaciones simbólicas usadas
para presentar el concepto, sus propiedades y las situaciones a alas que se
refiere”.
Análogamente una
concepción estaría formada por esta misma terna, pero considerando en un
momento dado de la evolución del concepto
(Vergnaud, 1982, citado por Ruiz, 1993).
El análisis de la
evolución de las concepciones se apoyó en la teoría de dificultades y
obstáculos epistemológicos de Brousseau y el Bouzzaoui (1988) quienes consideran que la evolución de una
noción matemática para convertirse en conceptos hace que la elaboración del
mismo, sea un proceso en el que aparecen dificultades y obstáculos. Cada
concepción histórica permite la resolución de un conjunto de situaciones
problemas, llamados dominio de aplicaciones dela concepción. Una dificulta
aparece cuando un problema nuevo se resuelve reorganizando la teoría de la
concepción que se dispone, pero si para la solución se requiere de un cambio
importante o radical de punto de vista, o sea se requiere una nueva concepción,
se dice que un obstáculo ha sido superado.
El conocimiento
científico no se desarrolla en un proceso continuo, sino que resulta del
rechazo de formas previas de conocimientos que se constituyen en obstáculos
epistemológicos (Bachelard, 1993).
Hacer un seguimiento
a la evolución histórica de la noción de
limite, implica hacer recorrido histórico a las matemáticas, encontrando que
esta noción no se desarrolle en forma independiente y autónoma sino que hace
parte de una red o entramados que se obtiene por medio de la interacción e
interdependencia con otras naciones vecinas del cálculo; variable, función,
función continua, infinito, infinitesimal, número, número real, continuo
numérico.
Para facilitar el
análisis se tuvo en cuenta el contexto matemático, en el que se fue
desarrollando la noción a excepción de las concepciones de Newton y Leibniz, las cuales se analizan por
separado, debido a los matices particulares que poseen.
El paso al límite no
es una operación matemática, sino que esta oculta en el método de exacción,
parar probar ciertas relaciones entre magnitudes. (Sierpinska 1987 pág. 32).
En la época griega se
presenta situaciones que dan oportunidad a las primeras manifestaciones
intuitivas de la idea de límite. Ella tienen que ver con el encuentro de
procesos geométricos infinitos que surgen de las paradojas de Zenón, el
descubrimiento de los inconmensurables o
irracionales y la comparación de áreas y volúmenes de figuras curvilíneas por
aproximación de figuras rectilíneas. Por ejemplo el problema de celular el área
del círculo proporcionó una oportunidad para desarrollar herramientas muy
similares al concepto de límite.
Afínales del siglo
XVI y comienzos del siglo xvii, los matemáticos del renacimiento, basados en el
método de Arquímedes, pero tratando de evadir la rigurosidad del método de
exacción y aprovechando la inserción del infinito en los razonamientos
matemáticos por algunos filósofos escolásticos, surgen nuevos métodos para
resolver problemas de áreas de figuras curvilíneas. Por ejemplo tanto Stevin
(1548-1620) como Lucas Valerio en 1604
se aproximaron a la idea de límite aunque en lo geométrico al indicar la
condición necesaria para la existencia de un límite a saber, que la diferencia
entre determinadas áreas puede hacerse menor que un área específica.
Cavalieri (1598-
1647) propone el método de los indivisibles
para comparar áreas y volúmenes, método que ocupa un lugar intermedio
entre las rigurosas concepciones de Arquímedes y los nuevos métodos
infinitesimales de Newton y Leibniz y
Kepler (1571- 1630) inicia los planteamientos del infinitamente pequeño, para
calcular de áreas, superficies barridas en el movimiento planetario, volúmenes,
estudios de curvas representando trayectorias de movimientos.
El límite se aplica
magnitudes geométricas, como áreas, volúmenes, superficies barridas, ángulos de
rotación. En al época griega se considera como aproximación de procesos
geométricos infinitos, dada por la intuición geométrica o espacial y en el
renacimiento el limite se consideraba como una aproximación finta, como que toma una de un número finito
de cantidades que se aproximan al límite como la mejor aproximación, no tanto
como se desee. El infinito que es un concepto consustancial a la noción de
límite se rechaza y evade en matemáticas, generándose el obstáculo horror al
infinito que impide ver el proceso de aproximación como una operación que llega
a un resultado.
Uno de los
aportaciones más relevantes de newton a la evolución de la noción de limite,
fue darse cuenta que para calcular una razón de cambio instantánea era
necesario considerar procesos infinitos entre dos valores era necesario
considerar procesos infinitos entre dos valores suficientes próximos.
La noción de límite
evoluciona tratando de dar respuesta a los siguientes problemas planteados al
interior de las matemáticas:
Problema 1 la
relación entre números y magnitud.
Surge de las
paradojas de Zenón y el descubrimiento de los inconmensurables, separados lo
geométrico de los números y a pesar de las aportaciones para solucionarlo como
los de Stevin con su planteamiento sobre el concepto de número.
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