viernes, 3 de octubre de 2014
martes, 16 de septiembre de 2014
martes, 14 de enero de 2014
CONCEPCIONES HISTÓRICAS ASOCIADAS AL CONCEPTO DE LÍMITE E IMPLICACIONES DIDÁCTICAS.
Ana
Cecilia medina M.
Estudiante
del programa de maestría en docencia de la matemáticas.
Universidad
pedagógica nacional.
Es este artículo se
presenta una síntesis de un estudio aproximativo de las concepciones históricas
relativas al concepto de limite, identificadas en su génesis y evolución y el
papel que desempeña este estudio epistemológico en un trabajo de investigación
desarrollado en el marco de la comprensión de los conceptos matemáticos.
El concepto de límite
ocupa una posición central en el campo conceptual del cálculo y su complejidad
resulta ser fuente de dificultades tanto en la enseñanza como en el
aprendizaje. Primero por su carácter estructural que lo constituye el eje
central y concepto básico sobre el cual se construye la estructura del
cálculo diferencial e integral y otras
ramas de las matemáticas: también por su carácter instrumental como herramienta
para la solución de problemas tanto al interior de las matemáticas como de las
ciencias aplicadas como la física, la ingeniería y finalmente, como objeto
matemático que se gesta en diferentes con-textos : geométrico, aritmético,
topológico y asociado a otros objetos matemáticos.
Una de las
intencionalidades del educador matemático es la búsqueda de la comprensión como
construcción y apropiación de significados relativos a elementos constitutivos,
de los conceptos matemáticos por parte de los estudiantes, los cuales genera
interrogantes acerca de sus actividades matemáticas.
Como el objetivo principal de este trabajo de investigación es
estudiarlas concepciones que manifiestan los estudiantes acerca de la noción de
limite, se debe tener como punto de partida los significados atribuidos al
concepto, los cuales no se construyen consultando los libros de texto de
cálculo más elevados, porque allí por una parte se encuentran el conocimiento
matemático terminado y pulido con su apariencia perfecta inequívoca y rigurosa,
ocultando las dificultades y obstáculos que hicieron evolucionar la noción
hasta llegar a institucionalizarse Como concepto matemático. Este estudio aproximativo
de la evolución de la noción de limite se ha apoyado en las teorías sobre
concepciones de Vergnaud (1982, citado por Ruiz, 1993), problemas conceptuales
de Toulmin (1977. Citado por delgado, 1998), dificultades y obstáculos
epistemológicos de Brousseau (citado por Ruiz, 1993), y el Brousseau (1988) y
el estatus de un concepto matemático de Chevallard (1991) y Sfard (19991).
Para el estudio de
las concepciones históricas de la noción de límite se adoptó La definición de
concepción de Vergnaud, quien parte de la definición de un concepto matemático.
“un concepto
matemático está determinado por una terna(S, I, S) en donde S: ES el conjunto
de situaciones Que dan sentido al concepto, I: el conjunto de invariantes que
constituyen el concepto y S: el conjunto de representaciones simbólicas usadas
para presentar el concepto, sus propiedades y las situaciones a alas que se
refiere”.
Análogamente una
concepción estaría formada por esta misma terna, pero considerando en un
momento dado de la evolución del concepto
(Vergnaud, 1982, citado por Ruiz, 1993).
El análisis de la
evolución de las concepciones se apoyó en la teoría de dificultades y
obstáculos epistemológicos de Brousseau y el Bouzzaoui (1988) quienes consideran que la evolución de una
noción matemática para convertirse en conceptos hace que la elaboración del
mismo, sea un proceso en el que aparecen dificultades y obstáculos. Cada
concepción histórica permite la resolución de un conjunto de situaciones
problemas, llamados dominio de aplicaciones dela concepción. Una dificulta
aparece cuando un problema nuevo se resuelve reorganizando la teoría de la
concepción que se dispone, pero si para la solución se requiere de un cambio
importante o radical de punto de vista, o sea se requiere una nueva concepción,
se dice que un obstáculo ha sido superado.
El conocimiento
científico no se desarrolla en un proceso continuo, sino que resulta del
rechazo de formas previas de conocimientos que se constituyen en obstáculos
epistemológicos (Bachelard, 1993).
Hacer un seguimiento
a la evolución histórica de la noción de
limite, implica hacer recorrido histórico a las matemáticas, encontrando que
esta noción no se desarrolle en forma independiente y autónoma sino que hace
parte de una red o entramados que se obtiene por medio de la interacción e
interdependencia con otras naciones vecinas del cálculo; variable, función,
función continua, infinito, infinitesimal, número, número real, continuo
numérico.
Para facilitar el
análisis se tuvo en cuenta el contexto matemático, en el que se fue
desarrollando la noción a excepción de las concepciones de Newton y Leibniz, las cuales se analizan por
separado, debido a los matices particulares que poseen.
El paso al límite no
es una operación matemática, sino que esta oculta en el método de exacción,
parar probar ciertas relaciones entre magnitudes. (Sierpinska 1987 pág. 32).
En la época griega se
presenta situaciones que dan oportunidad a las primeras manifestaciones
intuitivas de la idea de límite. Ella tienen que ver con el encuentro de
procesos geométricos infinitos que surgen de las paradojas de Zenón, el
descubrimiento de los inconmensurables o
irracionales y la comparación de áreas y volúmenes de figuras curvilíneas por
aproximación de figuras rectilíneas. Por ejemplo el problema de celular el área
del círculo proporcionó una oportunidad para desarrollar herramientas muy
similares al concepto de límite.
Afínales del siglo
XVI y comienzos del siglo xvii, los matemáticos del renacimiento, basados en el
método de Arquímedes, pero tratando de evadir la rigurosidad del método de
exacción y aprovechando la inserción del infinito en los razonamientos
matemáticos por algunos filósofos escolásticos, surgen nuevos métodos para
resolver problemas de áreas de figuras curvilíneas. Por ejemplo tanto Stevin
(1548-1620) como Lucas Valerio en 1604
se aproximaron a la idea de límite aunque en lo geométrico al indicar la
condición necesaria para la existencia de un límite a saber, que la diferencia
entre determinadas áreas puede hacerse menor que un área específica.
Cavalieri (1598-
1647) propone el método de los indivisibles
para comparar áreas y volúmenes, método que ocupa un lugar intermedio
entre las rigurosas concepciones de Arquímedes y los nuevos métodos
infinitesimales de Newton y Leibniz y
Kepler (1571- 1630) inicia los planteamientos del infinitamente pequeño, para
calcular de áreas, superficies barridas en el movimiento planetario, volúmenes,
estudios de curvas representando trayectorias de movimientos.
El límite se aplica
magnitudes geométricas, como áreas, volúmenes, superficies barridas, ángulos de
rotación. En al época griega se considera como aproximación de procesos
geométricos infinitos, dada por la intuición geométrica o espacial y en el
renacimiento el limite se consideraba como una aproximación finta, como que toma una de un número finito
de cantidades que se aproximan al límite como la mejor aproximación, no tanto
como se desee. El infinito que es un concepto consustancial a la noción de
límite se rechaza y evade en matemáticas, generándose el obstáculo horror al
infinito que impide ver el proceso de aproximación como una operación que llega
a un resultado.
Uno de los
aportaciones más relevantes de newton a la evolución de la noción de limite,
fue darse cuenta que para calcular una razón de cambio instantánea era
necesario considerar procesos infinitos entre dos valores era necesario
considerar procesos infinitos entre dos valores suficientes próximos.
La noción de límite
evoluciona tratando de dar respuesta a los siguientes problemas planteados al
interior de las matemáticas:
Problema 1 la
relación entre números y magnitud.
Surge de las
paradojas de Zenón y el descubrimiento de los inconmensurables, separados lo
geométrico de los números y a pesar de las aportaciones para solucionarlo como
los de Stevin con su planteamiento sobre el concepto de número.
ENSAYO DE CONCEPTO DE LÍMITE FUNCIONAL: APRENDIZAJE Y MEMORIA.
Sonsoles
Blázquez
Stella
Nora Satica
Tomas
Ortega.
Investigaciones sobre
el concepto límite:
v
Tall,
D. y Vinner. S. (1981) describen las imágenes conceptuales de los alumnos.
v
Cornu,
B. (1983) señala las concepciones y los obstáculos.
v
Tall,
D. y Shwarzenberser, R. (1978) estudian los conflictos que se producen en el
aprendizaje del concepto de límite.
v
Sierra,
M. , González, M.T. y López, (1998) describen las concepciones límite de un
punto de vista histórico.
Investigaciones que
se centraron en errores y dificultades.
Ø
Cornu(1983),
que partiendo de los obstáculos epistemológicos construye una secuencia
didáctica.
Ø
Sierpinska,
A. (1985), se describe un estudio similar al de Cornu.
Ø
Sierpinska
A. (1987), trata de desarrollar el concepto a partir de situaciones didácticas
que favorezcan la superación de los obstáculos detectados.
Ø
Sierpinska(
1990), se describe su teoría de los actos de comprensión.
Ø
Artigue, M. et al. (1995) explicitan una serie
de dificultades asociadas a la conceptualización y a la formación del concepto.
Ø
Cornu
(1991) resalta la trasmisión didáctica de los obstáculos epistemológicos.
- Sanchez, C. (1997) vuelve a
retomar el análisis de los obstáculos epistemológicos y didácticos.
Análisis de
tratamiento de manuales
- Sanchez, C.(1997), que analiza
manuales universitarios y no universitarios.
- Espinoza (1998), que analiza
manuales desde la perspectiva de los momentos didácticos.
Procesos de enseñanza del concepto
ü
Robinet,
J. (1983), que se sitúa en el marco de la ingeniería didáctica.
ü
Cornu,
W. (1993), que destaca las actividades en un contexto de resolución de
problemas.
ü
Berthelot
R. y Berthelot C.(1983), que proponen la creación de una situación fundamental.
ü
Delgado,
C. (1995) describe la evolución de los esquemas de los alumnos universitarios
en la adquisición de este concepto
ü
Blázquez,
S. y Ortega, T. (1997 y 1999) describen la importancia de las sucesiones como
instrumento de aproximación didáctica al concepto de límite funcional.
ü
Blázquez
y Ortega, T. (1999 y 2000) presentan un
planteamiento didáctico para la docencia del concepto de límite en la educación
secundaria.
ü
Blázquez,
S. y Ortega, T.(2001a y 2001b) realizan un estudio sobre sistemas de
representación en la enseñanza del límite y analizan las rupturas en la
comprensión del concepto de limite en alumnos de bachillerato.
ü
2002
publican una nueva definición de límite funcional con la que venían trabajando
años atrás.
ü
Blázquez,
S., Gatica, S. N., Ortega, T., Benegas, J. (2006) realizan un estudio
comparativo de la definición métrica y la dada por ellos para establecer cuál
de las dos es más sencilla y más apropiada para la docencia- aprendizaje del
concepto.
Problema:
Los
alumnos olvidan con suma facilidad y que el olvido es total, la definición del
concepto limite basado en la definición de métrica.
Concepto
limite basado en la definición de métrica:
En términos de desigualdades, tenemos que el
límite de la función f(x) en x = c es L si se
cumple que para todo ε > 0 existe un δ(ε) > 0 tal
que, para todo x:
si ,
entonces
Objetivo:
Averiguar
la permanencia temporal de las conceptualizaciones del límite funcional en la
memoria de los alumnos.
HIPÓTESIS
De las posibles
conceptualizaciones de limite funcional, las ingenuas son más perdurables en la
memoria de los alumnos que las rigurosas y, de esto, la métrica es más difícil
de recordar que la conceptualización como aproximación óptima.
Marco teórico y
metodología:
El
marco teórico es proporcionado por el binomio que forman aprendizajes y
memorias.
Cuatro
pautas de aprendizajes que según Baddeley (2003) influyen en su memorización.
v
Presentación
del contenido
v
Práctica.
v
Relación
de la nueva información con la que ya se sabe.
v
Activación
de alguna forma de consolidación.
La metodología que
ocupa es cualitativa, la investigación-Acción, inspirada en los obras de
Skemmis y R. Mactagart(1988).
La
cantidad tan diversas que emiten los alumnos y las dificultades que tienen para
escribir la definición de limite funcional y en muchos casos en una definición
ingenua.
q
Los
alumnos utilizaron la definición basada en la aproximación óptima
exclusivamente.
q
Los
alumnos que responden con la definición métrica también lo hacen utilizando la
definición como aproximación óptima.
ENSAYO DE UNA PROPUESTA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA DE LÍMITE
Silvia Aquere,
Adriana Engler, Silvia Vrancken, Daniela Müller, Marcela Hecklein, María Inés
Gregorini y
Natalia Henzenn
Facultad de Ciencias Agrarias.
Universidad Nacional del Litoral
Prov. de Santa Fe (Argentina)
Este trabajo de
investigación fue realizado para ver como comprender y apropiarse del concepto
de límite a alumnos de carreras universitarias no matemáticas, en su caso, Ingeniería
Agronómica. El concepto de límite de una
función por su naturaleza ha dado
trabajo para que los alumnos se apropien de dicho concepto. En este trabajo lo
que intenta es investigar como el concepto de límite de una función ha
presentado dificultades para que los
alumnos se apropien del concepto para ello primero es clasificar las
dificultades que ha presentado en la enseñanza del concepto límite de una
función. El objetivo de la investigación es abordar el tema límite no desde una
óptica convencional sino tratando de construir su concepto desde la intuición
para luego llegar a una formalización del mismo, a través de actividades
constructivistas y participativas. La
enseñanza implica que el estudiante aprenda
para Duval (1998) la formación de conceptos implica
una coordinación de sistemas de representaciones, esta se logra articulando
entre diferentes registros. Entendiéndose las
representaciones, diferentes notaciones, ya sean gráficas, simbólicas,
así como expresiones verbales. En el concepto de límite, el registro numérico
se ve mediante tablas de valores, la posibilidad de acercarse a un determinado
valor utilizando aproximaciones mayores por un lado y menores por el otro. El
registro simbólico cuando es posible definir el límite de una función
utilizando la simbología adecuada. Y el registro verbal cuando es posible definir
el concepto utilizando palabras de nuestro vocabulario. Dentro de la formación
de conceptos se presentan errores o malas respuestas por eso Godino, Batanero y Font (2003) expresan “hablamos de error cuando el alumno
realiza una práctica (acción, argumentación, etc.) que no es válida desde el
punto de vista de la institución matemática escolar”. Para Rico (1995) el error
se produce cuando un alumno proporciona una respuesta incorrecta a una cuestión
matemática, esta respuesta es errónea, la solución proporcionada es un error en
relación a la cuestión planteada. La causa y orígenes de los errores son
diversos, decidimos analizar aquellos basados en dificultades de tipo:
epistemológicas, didácticas, cognitivas y actitudinales. Las dificultades
epistemológicas son las relacionadas esencialmente con el propio concepto. Las
dificultades didácticas, es decir las originadas por el sistema de enseñanza,
podemos destacar dos aspectos de los que nos ocupamos en nuestra propuesta de
trabajo. Las dificultades cognitivas, muchas veces asociamos el error a falta
de conocimiento, pero como expresa Brousseau (1983, c.p. Batanero et al., 1994,
p.2), el mismo manifiesta que “es un conocimiento, no una falta de
conocimiento”.
La propuesta consta
de dos partes los alumnos las
resolvieron en forma grupal sin la
Intervención del
docente. Se corrigieron, marcando donde había error. Los alumnos eran cursantes
de Matemática II de la carrera durante en el año 2006. Los trabajos fueron en
total, ciento sesenta, los cuales se dividieron en setenta y seis grupos. En
la Primera Guía se incluyeron siete ejercicios que, en forma gradual
en ellos se trabajan distintas representaciones (tabla, gráfica, fórmula) aquí
se introduce la idea intuitiva de aproximación del límite por derecha y por
izquierda.
La segunda guía
consta de tres actividades, subdivididas en ítems donde debían interpretar, que
a medida que la variable independiente crece, la función crece indefinidamente.
La tercera actividad es una aplicación. El Trabajo Final de Límite de Funciones constó de nueve
actividades, cuya resolución exigía el uso de las diferentes representaciones
(gráficas, simbólicas, analíticas, coloquial) y realizar procesos de conversión
entre ellas. En las primeras tres actividades, se trató de propiciar el
análisis de gráficos y simbología en forma conjunta, ya que a través de ellos,
debían completar los límites que se les pedían, los mismos eran finitos en
algunos casos, infinitos y en el infinito, en otros. Se pretendía con esto
analizar si los alumnos comprenden el concepto de límite a partir de una
función definida gráficamente. A partir de la cuarta hasta la séptima
actividad, debían graficar una función a partir de una serie de condiciones, a
cumplirse en forma simultánea. Se pretendía evaluar la capacidad de ilustrar su
idea de límite. En la actividad 8 la resolución consta de la evaluación de unos
límites establecidos y apartir de ellos calcular los propuestos. En estos
ejercicios las mayores dificultades se presentan en la factorización de las
expresiones, o para salvar las indeterminaciones, cometiendo muchos errores
algebraicos y de cálculos. En la última actividad, muchos realizan solamente
las sustituciones, y no intentan otra cosa.
En el desarrollo de
su propuesta encontramos por un lado alumnos que tenían buen desempeño en los
prácticos y que supieron confrontar y defender sus posturas. Por otro, los que
lograron resolver las actividades pero en las que contenían errores se
presentaban contradicciones con las que habían resuelto bien. Se observaron
grupos que ante la inseguridad y el miedo a equivocarse no resolvían las
situaciones y los que no han querido trabajar, que fueron muy pocos. En las
entrevistas, un alto porcentaje manifestó que antes de resolver las actividades
conjugaban sentimientos de ansiedad por lo desconocido del tema, por las
actitudes que esperan de los profesores, por el estilo de enseñanza, y miedo a
no saber cómo resolverlos, al fracaso, a los errores, pero que al final del
tema la estrategia de trabajo había sido positiva.
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