martes, 14 de enero de 2014

CONCEPCIONES HISTÓRICAS ASOCIADAS AL CONCEPTO DE LÍMITE E IMPLICACIONES DIDÁCTICAS.


Ana Cecilia medina M.

Estudiante del programa de maestría en docencia de la matemáticas.

Universidad pedagógica nacional.

Es este artículo se presenta una síntesis de un estudio aproximativo de las concepciones históricas relativas al concepto de limite, identificadas en su génesis y evolución y el papel que desempeña este estudio epistemológico en un trabajo de investigación desarrollado en el marco de la comprensión de los conceptos matemáticos.

 

El concepto de límite ocupa una posición central en el campo conceptual del cálculo y su complejidad resulta ser fuente de dificultades tanto en la enseñanza como en el aprendizaje. Primero por su carácter estructural que lo constituye el eje central y concepto básico sobre el cual se construye la estructura del cálculo  diferencial e integral y otras ramas de las matemáticas: también por su carácter instrumental como herramienta para la solución de problemas tanto al interior de las matemáticas como de las ciencias aplicadas como la física, la ingeniería y finalmente, como objeto matemático que se gesta en diferentes con-textos : geométrico, aritmético, topológico y asociado a otros objetos matemáticos.

 

Una de las intencionalidades del educador matemático es la búsqueda de la comprensión como construcción y apropiación de significados relativos a elementos constitutivos, de los conceptos matemáticos por parte de los estudiantes, los cuales genera interrogantes acerca de sus actividades matemáticas.

Como  el objetivo  principal de este trabajo de investigación es estudiarlas concepciones que manifiestan los estudiantes acerca de la noción de limite, se debe tener como punto de partida los significados atribuidos al concepto, los cuales no se construyen consultando los libros de texto de cálculo más elevados, porque allí por una parte se encuentran el conocimiento matemático terminado y pulido con su apariencia perfecta inequívoca y rigurosa, ocultando las dificultades y obstáculos que hicieron evolucionar la noción hasta llegar a institucionalizarse Como concepto matemático. Este estudio aproximativo de la evolución de la noción de limite se ha apoyado en las teorías sobre concepciones de Vergnaud (1982, citado por Ruiz, 1993), problemas conceptuales de Toulmin (1977. Citado por delgado, 1998), dificultades y obstáculos epistemológicos de Brousseau (citado por Ruiz, 1993), y el Brousseau (1988) y el estatus de un concepto matemático de Chevallard (1991) y Sfard (19991).

 

Para el estudio de las concepciones históricas de la noción de límite se adoptó La definición de concepción de Vergnaud, quien parte de la definición de un concepto matemático.

“un concepto matemático está determinado por una terna(S, I, S) en donde S: ES el conjunto de situaciones Que dan sentido al concepto, I: el conjunto de invariantes que constituyen el concepto y S: el conjunto de representaciones simbólicas usadas para presentar el concepto, sus propiedades y las situaciones a alas que se refiere”.

 

Análogamente una concepción estaría formada por esta misma terna, pero considerando en un momento dado  de la evolución del concepto (Vergnaud, 1982, citado por Ruiz, 1993).

 

El análisis de la evolución de las concepciones se apoyó en la teoría de dificultades y obstáculos epistemológicos de Brousseau y el Bouzzaoui (1988)  quienes consideran que la evolución de una noción matemática para convertirse en conceptos hace que la elaboración del mismo, sea un proceso en el que aparecen dificultades y obstáculos. Cada concepción histórica permite la resolución de un conjunto de situaciones problemas, llamados dominio de aplicaciones dela concepción. Una dificulta aparece cuando un problema nuevo se resuelve reorganizando la teoría de la concepción que se dispone, pero si para la solución se requiere de un cambio importante o radical de punto de vista, o sea se requiere una nueva concepción, se dice que un obstáculo ha sido superado.

 

El conocimiento científico no se desarrolla en un proceso continuo, sino que resulta del rechazo de formas previas de conocimientos que se constituyen en obstáculos epistemológicos (Bachelard, 1993).

 

Hacer un seguimiento a la evolución  histórica de la noción de limite, implica hacer recorrido histórico a las matemáticas, encontrando que esta noción no se desarrolle en forma independiente y autónoma sino que hace parte de una red o entramados que se obtiene por medio de la interacción e interdependencia con otras naciones vecinas del cálculo; variable, función, función continua, infinito, infinitesimal, número, número real, continuo numérico.

 

Para facilitar el análisis se tuvo en cuenta el contexto matemático, en el que se fue desarrollando la noción a excepción de las concepciones de  Newton y Leibniz, las cuales se analizan por separado, debido a los matices particulares que poseen.

 

El paso al límite no es una operación matemática, sino que esta oculta en el método de exacción, parar probar ciertas relaciones entre magnitudes. (Sierpinska 1987 pág. 32).

 

En la época griega se presenta situaciones que dan oportunidad a las primeras manifestaciones intuitivas de la idea de límite. Ella tienen que ver con el encuentro de procesos geométricos infinitos que surgen de las paradojas de Zenón, el descubrimiento  de los inconmensurables o irracionales y la comparación de áreas y volúmenes de figuras curvilíneas por aproximación de figuras rectilíneas. Por ejemplo el problema de celular el área del círculo proporcionó una oportunidad para desarrollar herramientas muy similares al concepto de límite.

 

 

Afínales del siglo XVI y comienzos del siglo xvii, los matemáticos del renacimiento, basados en el método de Arquímedes, pero tratando de evadir la rigurosidad del método de exacción y aprovechando la inserción del infinito en los razonamientos matemáticos por algunos filósofos escolásticos, surgen nuevos métodos para resolver problemas de áreas de figuras curvilíneas. Por ejemplo tanto Stevin (1548-1620) como Lucas Valerio en  1604 se aproximaron a la idea de límite aunque en lo geométrico al indicar la condición necesaria para la existencia de un límite a saber, que la diferencia entre determinadas áreas puede hacerse menor que un área específica.

 

Cavalieri (1598- 1647) propone el método de los indivisibles  para comparar áreas y volúmenes, método que ocupa un lugar intermedio entre las rigurosas concepciones de Arquímedes y los nuevos métodos infinitesimales de Newton y Leibniz  y Kepler (1571- 1630) inicia los planteamientos del infinitamente pequeño, para calcular de áreas, superficies barridas en el movimiento planetario, volúmenes, estudios de curvas representando trayectorias de movimientos.

 

El límite se aplica magnitudes geométricas, como áreas, volúmenes, superficies barridas, ángulos de rotación. En al época griega se considera como aproximación de procesos geométricos infinitos, dada por la intuición geométrica o espacial y en el renacimiento el limite se consideraba como una aproximación  finta, como que toma una de un número finito de cantidades que se aproximan al límite como la mejor aproximación, no tanto como se desee. El infinito que es un concepto consustancial a la noción de límite se rechaza y evade en matemáticas, generándose el obstáculo horror al infinito que impide ver el proceso de aproximación como una operación que llega a un resultado.

 

Uno de los aportaciones más relevantes de newton a la evolución de la noción de limite, fue darse cuenta que para calcular una razón de cambio instantánea era necesario considerar procesos infinitos entre dos valores era necesario considerar procesos infinitos entre dos valores suficientes próximos.

 

 

La noción de límite evoluciona tratando de dar respuesta a los siguientes problemas planteados al interior de las matemáticas:

 

Problema 1 la relación entre números y magnitud.

Surge de las paradojas de Zenón y el descubrimiento de los inconmensurables, separados lo geométrico de los números y a pesar de las aportaciones para solucionarlo como los de Stevin con su planteamiento sobre el concepto de número.

ENSAYO DE CONCEPTO DE LÍMITE FUNCIONAL: APRENDIZAJE Y MEMORIA.


Sonsoles Blázquez

Stella Nora Satica

Tomas Ortega.

Investigaciones sobre el   concepto límite:

 

v  Tall, D. y Vinner. S. (1981) describen las imágenes conceptuales de los alumnos.

v  Cornu, B. (1983) señala las concepciones y los obstáculos.

v  Tall, D. y Shwarzenberser, R. (1978) estudian los conflictos que se producen en el aprendizaje del concepto de límite.

v  Sierra, M. , González, M.T. y López, (1998) describen las concepciones límite de un punto de vista histórico.

 

Investigaciones que se centraron en errores y dificultades.

Ø  Cornu(1983), que partiendo de los obstáculos epistemológicos construye una secuencia didáctica.

Ø  Sierpinska, A. (1985), se describe un estudio similar al de Cornu.

Ø  Sierpinska A. (1987), trata de desarrollar el concepto a partir de situaciones didácticas que favorezcan la superación de los obstáculos detectados.

Ø  Sierpinska( 1990), se describe su teoría de los actos de comprensión.

Ø   Artigue, M. et al. (1995) explicitan una serie de dificultades asociadas a la conceptualización y a la formación del concepto.

Ø  Cornu (1991) resalta la trasmisión didáctica de los obstáculos epistemológicos.

  • Sanchez, C. (1997) vuelve a retomar el análisis de los obstáculos epistemológicos y didácticos.

Análisis de tratamiento de  manuales

  1. Sanchez, C.(1997), que analiza manuales universitarios y no universitarios.
  2. Espinoza (1998), que analiza manuales desde la perspectiva de los momentos didácticos.

 Procesos de enseñanza del concepto

ü  Robinet, J. (1983), que se sitúa en el marco de la ingeniería didáctica.

ü  Cornu, W. (1993), que destaca las actividades en un contexto de resolución de problemas.

ü  Berthelot R. y Berthelot C.(1983), que proponen la creación de una situación fundamental.

ü  Delgado, C. (1995) describe la evolución de los esquemas de los alumnos universitarios en la adquisición de este concepto

ü  Blázquez, S. y Ortega, T. (1997 y 1999) describen la importancia de las sucesiones como instrumento de aproximación didáctica al concepto de límite funcional.

ü  Blázquez y Ortega, T. (1999 y 2000) presentan  un planteamiento didáctico para la docencia del concepto de límite en la educación secundaria.

ü  Blázquez, S. y Ortega, T.(2001a y 2001b) realizan un estudio sobre sistemas de representación en la enseñanza del límite y analizan las rupturas en la comprensión del concepto de limite en alumnos de bachillerato.

ü  2002 publican una nueva definición de límite funcional con la que venían trabajando años atrás.

ü  Blázquez, S., Gatica, S. N., Ortega, T., Benegas, J. (2006) realizan un estudio comparativo de la definición métrica y la dada por ellos para establecer cuál de las dos es más sencilla y más apropiada para la docencia- aprendizaje del concepto.

Problema:

           Los alumnos olvidan con suma facilidad y que el olvido es total, la definición del concepto limite basado en la definición de métrica.

           Concepto limite basado en la definición de métrica:

           En términos de desigualdades, tenemos que el límite de la función f(x) en x = c es L si se cumple que para todo ε > 0 existe un δ(ε) > 0 tal que, para todo x:

           si    , entonces  

\left| f\left(x\right) - L \right| < \epsilon                       0 < \left| x - c \right| < \delta

 

Objetivo:

           Averiguar la permanencia temporal de las conceptualizaciones del límite funcional en la memoria de los alumnos.

           HIPÓTESIS

De las posibles conceptualizaciones de limite funcional, las ingenuas son más perdurables en la memoria de los alumnos que las rigurosas y, de esto, la métrica es más difícil de recordar que la conceptualización como aproximación óptima.

 

Marco teórico y metodología:

           El marco teórico es proporcionado por el binomio que forman aprendizajes y memorias.

           Cuatro pautas de aprendizajes que según Baddeley (2003) influyen en su memorización.

v  Presentación del contenido

v  Práctica.

v  Relación de la nueva información con la que ya se sabe.

v  Activación de alguna forma de consolidación.

La metodología que ocupa es cualitativa, la investigación-Acción, inspirada en los obras de Skemmis y R. Mactagart(1988).

           La cantidad tan diversas que emiten los alumnos y las dificultades que tienen para escribir la definición de limite funcional y en muchos casos en una definición ingenua.

q  Los alumnos utilizaron la definición basada en la aproximación óptima exclusivamente.

q  Los alumnos que responden con la definición métrica también lo hacen utilizando la definición como aproximación óptima.

ENSAYO DE UNA PROPUESTA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA DE LÍMITE


Silvia Aquere, Adriana Engler, Silvia Vrancken, Daniela Müller, Marcela Hecklein, María Inés

Gregorini y Natalia Henzenn

Facultad de Ciencias Agrarias. Universidad Nacional del Litoral

Prov. de Santa Fe (Argentina)

Este trabajo de investigación fue realizado para ver como comprender y apropiarse del concepto de límite a alumnos de carreras universitarias no matemáticas, en su   caso, Ingeniería Agronómica. El concepto de límite  de una función por su naturaleza  ha dado trabajo para que los alumnos se apropien de dicho concepto. En este trabajo lo que intenta es investigar como el concepto de límite de una función ha presentado  dificultades para que los alumnos se apropien del concepto para ello primero es clasificar las dificultades que ha presentado en la enseñanza del concepto límite de una función. El objetivo de la investigación es abordar el tema límite no desde una óptica convencional sino tratando de construir su concepto desde la intuición para luego llegar a una formalización del mismo, a través de actividades constructivistas y participativas.  La enseñanza implica que el estudiante aprenda  para   Duval (1998) la formación de conceptos implica una coordinación de sistemas de representaciones, esta se logra articulando entre diferentes registros. Entendiéndose las  representaciones, diferentes notaciones, ya sean gráficas, simbólicas, así como expresiones verbales. En el concepto de límite, el registro numérico se ve mediante tablas de valores, la posibilidad de acercarse a un determinado valor utilizando aproximaciones mayores por un lado y menores por el otro. El registro simbólico cuando es posible definir el límite de una función utilizando la simbología adecuada. Y el registro verbal cuando es posible definir el concepto utilizando palabras de nuestro vocabulario. Dentro de la formación de conceptos se presentan errores o malas respuestas por eso  Godino, Batanero y Font (2003)  expresan “hablamos de error cuando el alumno realiza una práctica (acción, argumentación, etc.) que no es válida desde el punto de vista de la institución matemática escolar”. Para Rico (1995) el error se produce cuando un alumno proporciona una respuesta incorrecta a una cuestión matemática, esta respuesta es errónea, la solución proporcionada es un error en relación a la cuestión planteada. La causa y orígenes de los errores son diversos, decidimos analizar aquellos basados en dificultades de tipo: epistemológicas, didácticas, cognitivas y actitudinales. Las dificultades epistemológicas son las relacionadas esencialmente con el propio concepto. Las dificultades didácticas, es decir las originadas por el sistema de enseñanza, podemos destacar dos aspectos de los que nos ocupamos en nuestra propuesta de trabajo. Las dificultades cognitivas, muchas veces asociamos el error a falta de conocimiento, pero como expresa Brousseau (1983, c.p. Batanero et al., 1994, p.2), el mismo manifiesta que “es un conocimiento, no una falta de conocimiento”.

La propuesta consta de dos partes  los alumnos las resolvieron en forma grupal sin la

Intervención del docente. Se corrigieron, marcando donde había error. Los alumnos eran cursantes de Matemática II de la carrera durante en el año 2006. Los trabajos fueron en total, ciento sesenta, los cuales se dividieron en setenta y seis grupos. En la  Primera Guía se incluyeron siete ejercicios que, en forma gradual en ellos se trabajan distintas representaciones (tabla, gráfica, fórmula) aquí se introduce la idea intuitiva de aproximación del límite por derecha y por izquierda.

La segunda guía consta de tres actividades, subdivididas en ítems donde debían interpretar, que a medida que la variable independiente crece, la función crece indefinidamente. La tercera actividad es una aplicación. El Trabajo Final de  Límite de Funciones constó de nueve actividades, cuya resolución exigía el uso de las diferentes representaciones (gráficas, simbólicas, analíticas, coloquial) y realizar procesos de conversión entre ellas. En las primeras tres actividades, se trató de propiciar el análisis de gráficos y simbología en forma conjunta, ya que a través de ellos, debían completar los límites que se les pedían, los mismos eran finitos en algunos casos, infinitos y en el infinito, en otros. Se pretendía con esto analizar si los alumnos comprenden el concepto de límite a partir de una función definida gráficamente. A partir de la cuarta hasta la séptima actividad, debían graficar una función a partir de una serie de condiciones, a cumplirse en forma simultánea. Se pretendía evaluar la capacidad de ilustrar su idea de límite. En la actividad 8 la resolución consta de la evaluación de unos límites establecidos y apartir de ellos calcular los propuestos. En estos ejercicios las mayores dificultades se presentan en la factorización de las expresiones, o para salvar las indeterminaciones, cometiendo muchos errores algebraicos y de cálculos. En la última actividad, muchos realizan solamente las sustituciones, y no intentan otra cosa.
En el desarrollo de su propuesta encontramos por un lado alumnos que tenían buen desempeño en los prácticos y que supieron confrontar y defender sus posturas. Por otro, los que lograron resolver las actividades pero en las que contenían errores se presentaban contradicciones con las que habían resuelto bien. Se observaron grupos que ante la inseguridad y el miedo a equivocarse no resolvían las situaciones y los que no han querido trabajar, que fueron muy pocos. En las entrevistas, un alto porcentaje manifestó que antes de resolver las actividades conjugaban sentimientos de ansiedad por lo desconocido del tema, por las actitudes que esperan de los profesores, por el estilo de enseñanza, y miedo a no saber cómo resolverlos, al fracaso, a los errores, pero que al final del tema la estrategia de trabajo había sido positiva.